再び誕生日のパラドックス（Birthday Paradox）について

はじめに

誕生日のパラドックスは、統計学を学び始めた頃に先生がよく学生を驚かせるために使う定番ネタだ。たいてい先生は財布からゆっくりと100元を取り出し、「この教室の中に同じ誕生日の人が2人いると思うか？」と学生に問いかける。

直感的には、確率はかなり低いと思いがちだ。しかし実際には、23人を超えれば、2人が同じ誕生日である確率は50%以上になる。

その原因の一つは、「その中の2人が同じ誕生日である」という問題を「その中の誰かが自分と同じ誕生日である」と結びつけて考えてしまうことにある。しかし、この2つの確率はまったく異なる。

「その中の誰かが自分と同じ誕生日である」確率は $\frac{1}{365}$ だが、「その中の2人が同じ誕生日である」場合は対象となる組み合わせの範囲が広がるため、確率は当然高くなる。それでもなお直感には反しているように思える。普通に考えれば線形に増加するはずではないか？しかし実際には、ある値を超えるとこの確率は急激に上昇する。これについては後述する。

解法

余事象

少なくとも2人が同じ誕生日である確率は、余事象を使って計算できる。つまり、1から「全員の誕生日が異なる確率」を引くのだ。では、どうやって計算すればいいのだろうか？まず、2人の誕生日が異なる確率について考えてみよう。

1人目には365日の選択肢があり、2人目には364日ある。次に、3人の誕生日が異なる確率を考えてみる。

規則性が見えてきただろうか？もし $n$ 人いる場合、その確率は $\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times...\frac{n-1}{365}$ となる。

したがって、僕たちが求めたい確率は次のようになる。 $P=1-(\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times...\frac{n-1}{365}) \geq 0.5$ 式を整理してみよう。

$1+x\lt e^{x}$ の性質を利用して、さらに不等式を変形できる。

ここから分かるように、自然指数（指数関数）で近似できるため、確率の増加も人数の増加に伴って指数関数的な変化を示すのだ。

結論

数学を学んでいると、公式や風変わりな問題に振り回されてばかりで、公式の背後にある真の意味やどうやって証明されたのか、そして何より重要な「この数学を学ぶことで一体どんな問題を解決しようとしているのか」を考えないままになってしまいがちだ。僕たちにはそうした本質を深く考える姿勢が求められているのではないだろうか。