バースデーパラドックス

前言

誕生日の逆説は、統計学を学び始めた頃に教師が学生を驚かせるために好んで用いるトリックです。通常、教師は財布から100元を取り出し、教室の中に同じ日に誕生日を迎える2人がいるかどうかを学生に尋ねます。

直感的には、私たちはその確率が非常に低いと思うかもしれません。しかし、実際には23人を超えると、2人が同じ誕生日である確率は50%以上になります。

その一因は、「2人の誕生日が同じ」という問題を「誰かが自分と同じ誕生日である」と結びつけて考えることにありますが、両者の確率は全く異なります。

「誰かが自分と同じ誕生日である」確率は$\frac{1}{365}％ですが、「2人の誕生日が同じ」であれば、範囲が広がるため、確率も自然に増加します。しかし、やはり直感に反する部分があり、本来であれば線形に成長するはずです。しかし実際には、ある値を超えると、この確率は急速に上昇します。これについては後で詳しく説明します。

解法

補集合

私たちは補集合の考え方を使って、少なくとも2人が同じ誕生日である確率を計算できます。つまり、全員の誕生日が異なる確率を1から引くということです。では、どうやって計算するのでしょうか？まず、2人の誕生日が異なる確率を考えてみましょう：

最初の人は365日選べ、次の人は364日選ぶことができます。その後、3人の誕生日が異なる確率について考えてみましょう：

わかりましたか？もしn人いる場合、確率は$\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times...\frac{n-1}{365}$となります。

したがって、求めたい確率は： $P=1-(\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times...\frac{n-1}{365}) \geq 0.5$ 簡略化すると：

私たちは$1+x\lt e^{x}$の特性を利用して、不等式をさらに修正できます：

ここから観察できるのは、自然指数を用いて近似できるため、確率の成長は人数が増加するにつれて指数的に変化するということです。

結論

多くの場合、私たちが数学を学ぶとき、公式や奇妙な問題に振り回されることが多いですが、公式の背後にある本当の意味やどのように証明されたのか、そしてもっと重要なことに、これらの数学を学ぶことが何の問題を解決するためなのかを考えることはあまりありません。