前言

誕生日のパラドックスは、統計学を学び始めた頃に教師が学生を驚かせるためによく使うトリックです。通常、教師は財布から100元を取り出し、教室に同じ誕生日を持つ2人がいるか尋ねます。

直感的には、その確率は非常に低いと思われるかもしれません。しかし、実際には23人以上いれば、2人が同じ誕生日を持つ確率は50％以上になります。

その一部の理由は、「2人が同じ誕生日を持つ」という問題と「誰かと同じ誕生日を持つ」という問題を混同していることですが、これらの確率はまったく異なります。

「誰かと同じ誕生日を持つ」確率は1/365ですが、「2人が同じ誕生日を持つ」という場合は範囲が広がるため、確率も自然に増加します。しかし、これは直感に反するものであり、線形的に増加するはずですよね？しかし、実際にはある値を超えると、この確率は急速に上昇します。後ほど詳しく説明します。

解法

補集合

少なくとも2人が同じ誕生日を持つ確率を計算するために、補集合の方法を使用することができます。つまり、全員の誕生日が異なる確率を1から引く方法です。では、どのように計算するのでしょうか？まず、2人の誕生日が異なる確率について考えてみましょう：

最初の人は365日から選ぶことができ、2番目の人は364日から選ぶことができます。次に、3人の誕生日が異なる確率について考えてみましょう：

分かりましたか？n人いる場合、確率は$\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times...\frac{n-1}{365}$となります。

したがって、求める確率は次のようになります： $P=1-(\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times...\frac{n-1}{365}) \geq 0.5$ 簡略化すると：

$1+x\lt e^{x}$の性質を利用して、不等式をさらに変形できます：

ここからわかるように、自然指数関数を使って近似できるため、確率の成長も人数の増加とともに指数的な変化を示します。

結論

多くの場合、数学を学ぶ際には式や奇妙な形の問題に困惑し、式の真の意味や証明方法、さらに重要なことは、数学を学ぶ目的は何かを考えることなく、ぐるぐると回ってしまいます。