數值穩定與誤差

(0.1 + 0.2) == 0.3 這個看起來非常理所當然的等式，然而由於計算機對浮點數的儲存方式，在很多程式語言當中這個等式並不成立，也就是答案為 false。

不過另外一個問題是，為什麼 (0.5 + 0.25) == 0.75 這個等式又會成立呢？

在做浮點數運算時多少都會出現誤差。接下來我們討論為什麼會有誤差，以及在計算上可以做哪些事情來避免。

浮點數在計算機的儲存方式

浮點數在電腦當中會以 bit 排列表示，由 IEEE754 所規範。其中單精度浮點數為 32bit；雙精度則為 64bit。其中分成表示正負數的符號位、小數部、指數部。

符號位（1bit）：0 為正數；1 為負數
小數部
指數部

型別	大小	指數部	小數部
單精度	32bit	8bit	23bit
雙精度	64bit	11bit	52bit

以單精度為例，由於指數部為 8bit，可以表示的範圍為 0 ~ 255，但因為需要表示負數，在 IEEE754 的規範當中需要加上一個偏移量，才是最後儲存在指數部的數字。以單精度來說，偏移量為 127。

舉例來說，-14.75 在浮點數的表示會是：

符號位：負數，所以為 1
指數部：先將 14.75 用二進位表示 1110.11，正規化後為 1.11011* 2^3，指數部為 3 加上 127 後為 130，二進位表示為 10000010
小數部：11011，其餘的位數為 0

所以 -14.75 的浮點數表示會是：1 10000010 11011000000000000000000 000022

從這邊我們也可以知道誤差從何而來，由於指數為負數後，得到的數字都是 0 < x < 1 之間，因此如果是無法透過 2^-x 表示的數字，就只能盡可能趨近而無法做到相同。開頭提到的 0.5 + 0.25，由於這些數字可以寫成 2^-1+ 2^-2，因此計算上不會出現誤差。

為什麼要這樣儲存？

使用科學記數表示（Scientific notation）可以幫助我們處理各種 scale 的數字，並且保持一定的精度。像是 0.00000012345 和 1234567890000，透過科學記數可以表示為 1.2345E-7 和 1.23456789E12。在計算機當中通常是使用浮點數格式儲存，跟科學記數類似，只是將十進位改成了二進位。

實數有無限多個，然而電腦的儲存空間有限，因此不管如何儲存都一定會有誤差。我們能做的是在精度與可表達的數字範圍作 trade-off。

有效數字

有效數字是幫助我們判斷精度的指標。像是 0.001 或 0.0135 這些數字，我們可以寫作 $1 \times 10^{-3}$ 跟 $1.35\times10^{-2}$ 。這時 0.001 的有效數字為 1 位，1.35 的有效數字為 3 位。有效數字位數越多，精度越高。

在維基百科有個簡單的判斷規則：

所有非零數字都是有效的
非零數字間的零都是有效的
前綴零始終無效
對於需要小數點的數，後綴零（最後一個非零數字後的零）是有效的
對於不需要小數點的數，後綴零可能有效也可能無效。需要根據額外的符號或者誤差訊息決定。

Cancellation of significant digits

兩個絕對值非常相近的浮點數，在做減法運算時，因為大部分的數字相同，會剩下很多 0，導致有效數字減少，這個現象就叫做 cancellation of significant digits。

舉例來說：(1.234567890 - 1.234567889)，雖然結果為 0.000000001，但在精度不足的情況下有可能變為 0。

這在數值計算當中是需要特別注意的事：舉例來說倍角與半角公式

\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1-\cos\theta}{2}

當角度比較低的時候，由於 cos 相當接近 1，因此與 1 相減很容易出現有效數字遺失的問題。舉例來說：角度為 1 度時，使用倍角公式：（有效數字為 6 位數的情況下）

\frac{1-\cos1\degree}{2} = \frac{1 - 0.999847}{2} = 0.0000765 = 7.65 \times 10^{-5}

如果採用右邊的公式直接查表的話：

\sin^2(\frac{1\degree}{2}) = 0.00872653^{2} = 0.00007615232 = 7.61523 \times 10^{-5}

可以發現兩者的誤差相當明顯。在數值計算中要特別小心。要避免有效數字遺失有幾個方法：

盡可能避免絕對值相近的兩個數做運算
改用其他公式計算（例如上述的倍角公式）
- 其實就是避免讓絕對值相近的兩個數做運算
提高精度

結論

比較有經驗的工程師應該多少都知道浮點數運算會有誤差，也知道 0.1 + 0.2 != 0.3 的原因為何，這篇文章深入探討了小數的儲存方式、IEEE754、以及有效數字的遺失。

倍角公式應該是在高中三角函數時常常出現的題目，對我來說就是套套公式而已。

然而實際的應用都是透過電腦在算的，現實生活也不會到處都是 30 度 60 度這種好算的數字，老師也不會跟你說倍角公式會有有效數字的問題。